2021 · 数学一 · 第 20 题 · 解答题

设

D \subset R^{2}

是有界单连通闭区域，

I (D) = \iint_{D} (4 - x^{2} - y^{2}) d x d y

取得最大值的积分区域为

D_{1}

。

(1) 求 $I (D_{1})$ 的值；
(2) 计算 $\int_{\partial D_{1}} \frac{( x e ^{x^{2} + 4 y^{2}} + y ) d x + ( 4 y e ^{x^{2} + 4 y^{2}} - x ) d y}{x ^{2} + 4 y ^{2}}$ ，其中 $\partial D_{1}$ 是 $D_{1}$ 的正向边界。

答案

第 1 问

$I (D_{1}) = 8 π$

第 2 问

$- π$

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第 1 问

记 $g (x, y) = 4 - x^{2} - y^{2}$ ， $E = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 4}$ 。 $g$ 在 $E$ 内非负，在其外为负。对任一允许的区域 $D$ ，有

I (E) - I (D) = \iint_{E ∖ D} g d σ - \iint_{D ∖ E} g d σ \geq 0.

圆盘 $E$ 本身有界、单连通且闭，故可取最大区域 $D_{1} = E$ 。用极坐标，得

I (D_{1}) = 2 π \int_{0}^{2} (4 - r^{2}) r d r = 2 π [2 r^{2} - \frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{2} = 8 π .

第 2 问

边界 $\partial D_{1}$ 为半径 $2$ 的逆时针圆周。记 $u = x^{2} + 4 y^{2}$ ，将积分分为

J_{1} J_{2} = \oint_{\partial D_{1}} \frac{e ^{u} ( x d x + 4 y d y )}{u}, = \oint_{\partial D_{1}} \frac{y d x - x d y}{u} .

因 $d u = 2 x d x + 8 y d y$ ，定义 $Φ (u) = \int_{1}^{u} \frac{e ^{t}}{2 t} d t$ （ $u > 0$ ），则 $J_{1}$ 的被积式为 $d [Φ (x^{2} + 4 y^{2})]$ 。这是原点外单值光滑函数的全微分，故闭路积分 $J_{1} = 0$ 。
对 $J_{2}$ ，令 $P = \frac{y}{u}$ 、 $Q = - \frac{x}{u}$ ，在原点外有

P_{y} = \frac{u - 8 y ^{2}}{u ^{2}} = \frac{x ^{2} - 4 y ^{2}}{u ^{2}}, Q_{x} = \frac{- u + 2 x ^{2}}{u ^{2}} = \frac{x ^{2} - 4 y ^{2}}{u ^{2}} .

取小椭圆 $ℓ_{ε} : x^{2} + 4 y^{2} = ε^{2}$ ， $0 < ε < 1$ ，方向逆时针。它与外圆之间的环域无奇点，由格林公式（外逆内顺）可将 $J_{2}$ 移到该椭圆上，得

J_{2} = \frac{1}{ε ^{2}} \oint_{ℓ_{ε}} y d x - x d y .

分子为光滑多项式，格林公式将其闭路积分化为小椭圆面积的 $- 2$ 倍。半轴为 $ε, \frac{ε}{2}$ ，所以 $J_{2} = ε^{- 2} (- 2) (\frac{π ε ^{2}}{2}) = - π$ 。因此所求 $J = J_{1} + J_{2} = - π$ 。