1997 · 数学一 · 第 13 题 · 解答题

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为

N

，在

t = 0

时刻已掌握新技术的人数为

x_{0}

，在任意时刻

t

已掌握新技术的人数为

x (t)

（将

x (t)

视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数

k > 0

，求

x (t)

。

答案

$x (t) = \frac{N x _{0}}{x _{0} + ( N - x _{0} ) e ^{- k N t}}$

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由题意建立初值问题 $x^{'} = k x (N - x)$ ， $x (0) = x_{0}$ 。当 $0 < x_{0} < N$ 时分离变量，得 $ln \frac{x}{N - x} = k N t + C$ 。

代入初值并整理，得到 $x (t) = \frac{N x _{0}}{x _{0} + ( N - x _{0} ) e ^{- k N t}}$ 。该表达式也正确包含 $x_{0} = 0$ 与 $x_{0} = N$ 两个平衡解。