交叉项系数取一半填入对称位置，原二次型的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$。正交变换既是合同变换，也是相似变换，因此标准形系数就是全部特征值。目标中缺少 $x_1^2$ 项，故三个特征值为 $0,1,4$。
由行列式等于特征值之积，须有 $|A|=0$。按第一行展开，得

所以 $a=1$。再核对充分性：代入后 $\mathrm{tr}A=5$、$|A|=0$，三个二阶主子式之和为 $2+0+2=4$，故

特征值恰为 $0,1,4$，且 $A$ 实对称，确可经正交变换化为所给标准形。因此 $a=1$。