联合分布为：$P(X=-1,Y=-1)=\frac{1}{4}$，$P(X=-1,Y=1)=0$，$P(X=1,Y=-1)=\frac{1}{2}$，$P(X=1,Y=1)=\frac{1}{4}$。

$D(X+Y)=2$

$U$ 在 $[-2,2]$ 上均匀分布，区间长度为 4。按阈值 $-1,1$ 划分：在 $[-2,-1]$ 上 $X=-1,Y=-1$；在 $(-1,1]$ 上 $X=1,Y=-1$；在 $(1,2]$ 上 $X=1,Y=1$。端点概率为零。

上述三个区间长度分别为 1、2、1，故对应概率分别为 $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$，而 $X=-1,Y=1$ 不可能，概率为 0。

令 $S=X+Y$。由上一问，$S=-2,0,2$ 的概率分别为 $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$。

因此 $E(S)=0$，且 $E(S^2)=4\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=2$，从而 $D(X+Y)=D(S)=2$。