给定系数 $b_n=2{\int }_0^{1}f(x)\sin (n\pi x)\mathrm{d}x$ 正是 $(0,1)$ 上函数的傅里叶正弦级数系数。该级数在 $(-1,1)$ 表示 $f$ 的奇延拓。

在 $x=-\frac{1}{2}$ 处奇延拓连续，故

因此选 B。