在 $-\pi <x<0$ 上，原点在曲线法线上，故原点到曲线点的向量 $(x,y)$ 与切向量 $(1,y^{\prime })$ 垂直：$x+y{y}^{\prime }=0$。于是 $(x^2+y^2{)}^{\prime }=0$。

给定点 $\left(-\frac{\pi }{\sqrt{2}},\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right)$ 使常数为 ${\pi }^2$，并由该点的正 $y$ 值选取 $y=\sqrt{{\pi }^2-x^2}$。因此 $y(0)=\pi ,y^{\prime }(0)=0$。

在 $0\le x<\pi$ 上，通解为 $y=A\cos x+B\sin x-x$。代入 $y(0)=\pi ,y^{\prime }(0)=0$，得 $A=\pi ,B=1$。 因此