1994 · 数学一 · 第 12 题 · 解答题

将函数

f (x) = \frac{1}{4} ln \frac{1 + x}{1 - x} + \frac{1}{2} arctan x - x

展开成

x

的幂级数。

答案

$f (x) = m = 1 \sum \infty \frac{x ^{4 m + 1}}{4 m + 1}, ∣ x ∣ < 1$

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直接求导得

f^{'} (x) = \frac{1}{2 ( 1 - x ^{2} )} + \frac{1}{2 ( 1 + x ^{2} )} - 1 = \frac{x ^{4}}{1 - x ^{4}}

。

当 $∣ x ∣ < 1$ 时，

f^{'} (x) = k = 0 \sum \infty x^{4 k + 4}

。又因 $f (0) = 0$ ，逐项积分得

f (x) = k = 0 \sum \infty \frac{x ^{4 k + 5}}{4 k + 5} = m = 1 \sum \infty \frac{x ^{4 m + 1}}{4 m + 1}

。