1994 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

如图，设曲线方程为

y = x^{2} + \frac{1}{2}

，梯形

O A B C

的面积为

D

，曲边梯形

O A B C

的面积为

D_{1}

，点

A

的坐标为

(a, 0)

（

a > 0

）。证明

\frac{D}{D _{1}} < \frac{3}{2}

。

答案

证明见解析

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由图可知 $O C = \frac{1}{2}$ ， $A B = a^{2} + \frac{1}{2}$ ，两条平行边间的距离为 $a$ 。所以直边梯形面积为

D = \frac{a}{2} (\frac{1}{2} + a^{2} + \frac{1}{2}) = \frac{a ^{3} + a}{2} .

曲边梯形面积为

D_{1} = \int_{0}^{a} (x^{2} + \frac{1}{2}) d x = \frac{a ^{3}}{3} + \frac{a}{2} .

因 $a > 0$ ，

\frac{D}{D _{1}} = \frac{3 ( a ^{2} + 1 )}{2 a ^{2} + 3} < \frac{3}{2},

最后一个不等式等价于 $6 a^{2} + 6 < 6 a^{2} + 9$ ，显然成立。