2004 · 数学二 · 第 16 题 · 解答题

设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上有定义，在区间

[0, 2]

上，

f (x) = x (x^{2} - 4)

，若对任意的

x

都满足

f (x) = k f (x + 2)

，其中

k

为常数。

答案

$k x (x + 2) (x + 4)$

$k = - \frac{1}{2}$

查看解析展开

当 $- 2 \leq x \leq 0$ 时， $x + 2 \in [0, 2]$ ，可以直接使用已知表达式和关系 $f (x) = k f (x + 2)$ 。

所以 $f (x) = k (x + 2) ((x + 2)^{2} - 4) = k (x + 2) x (x + 4) = k x (x + 2) (x + 4)$ 。

在 $[0, 2]$ 上， $f (x) = x^{3} - 4 x$ ，故右导数为 $f_{+}^{'} (0) = - 4$ 。

由第一问，左侧表达式为 $k x (x + 2) (x + 4) = k (x^{3} + 6 x^{2} + 8 x)$ ，所以 $f_{-}^{'} (0) = 8 k$ 。函数在 $0$ 处本身连续，因为两侧函数值都为 $0$ 。

可导的充要条件是 $8 k = - 4$ ，故 $k = - \frac{1}{2}$ 。