先化简对数项：$\ln \sqrt{\frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}}=x-\frac{1}{2}\ln ({\mathrm{e}}^{2x}+1)$。因此 $y=\arctan {\mathrm{e}}^x-x+\frac{1}{2}\ln ({\mathrm{e}}^{2x}+1)$。

题中对数的真数对任意实数 $x$ 都为正，故定义域没有额外限制。求导得

代入 $x=1$，得到 $y^{\prime }(1)=\frac{\mathrm{e}-1}{{\mathrm{e}}^2+1}$。