2006 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

设在上半平面

D = {(x, y) ∣ y > 0}

内，函数

f (x, y)

有连续偏导数，且对任意

t > 0

都有

f (t x, t y) = t^{- 2} f (x, y)

。证明：对

D

内的任意分段光滑的有向简单闭曲线

L

，都有

\oint_{L} y f (x, y) d x - x f (x, y) d y = 0

。

答案

证明见解析

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对齐次关系 $f (t x, t y) = t^{- 2} f (x, y)$ 关于 $t$ 求导并令 $t = 1$ ，得欧拉公式

x f_{x} + y f_{y} = - 2 f .

令 $P = y f (x, y)$ ， $Q = - x f (x, y)$ 。则

Q_{x} - P_{y} = (- f - x f_{x}) - (f + y f_{y}) = - (2 f + x f_{x} + y f_{y}) = 0.

记 $L$ 围成的区域为 $Ω$ 。上半平面是凸集， $Ω$ 仍在定义域内；由格林公式，

\oint_{L} y f d x - x f d y = \iint_{Ω} (Q_{x} - P_{y}) d x d y = 0.