函数为多项式，极值点必须是驻点。由 $f_x=3x^2-y$、$f_y=24y^2-x$，令两者为零，先得 $y=3x^2$，再代入另一式，得到

所以 $x=0$ 或 $x=\frac{1}{6}$，对应 $y=0$ 或 $y=\frac{1}{12}$，全部驻点为 $(0,0)$、$(\frac{1}{6},\frac{1}{12})$。不能直接除以 $x$，否则会漏掉原点。
二阶偏导为 $A=f_{xx}=6x$、$B=f_{xy}=-1$、$C=f_{yy}=48y$。在原点处，$AC-B^2=-1<0$，所以是鞍点。在 $(\frac{1}{6},\frac{1}{12})$ 处，$A=1$、$B=-1$、$C=4$，故 $AC-B^2=3>0$ 且 $A>0$，所以是极小值点。极小值为

函数光滑，驻点已全部分类，故无极大值。无上界只能说明没有全局最大值，不能替代上述排除局部极大值的论证。