各被积函数在 $[2,+\infty )$ 上连续，只需考察无穷端。取 $b>2$，逐项计算截断积分。
A：${\int }_2^b{x}^{-\frac{1}{2}}dx=2\sqrt{b}-2\sqrt{2}\to +\infty$，发散。
B：${\int }_2^b\frac{\ln x}{x}dx=\frac{1}{2}[(\ln b{)}^2-(\ln 2{)}^2]\to +\infty$，发散。也可用 $x\ge e$ 时 $\frac{\ln x}{x}\ge \frac{1}{x}$ 比较；不能声称该不等式在所有 $x\ge 2$ 时成立。
C：令 $u=\ln x$，得 ${\int }_2^b\frac{dx}{x\ln x}=\ln \ln b-\ln \ln 2\to +\infty$，发散。
D：分部积分给出

所以只有 D 收敛。