1998 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

设函数

f (x)

在

[1, + \infty)

上连续。由曲线

y = f (x)

、直线

x = 1, x = t (t > 1)

与

x

轴所围成的平面图形绕

x

轴旋转一周所形成的旋转体体积为

V (t) = \frac{π}{3} [t^{2} f (t) - f (1)]

。完成下列各问：

答案

$x^{2} y^{'} + 2 x y = 3 y^{2}$

$y = \frac{x}{1 + x ^{3}}$

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旋转体体积也可写为 $V (t) = π \int_{1}^{t} f (x)^{2} d x$ 。题设右端说明 $t^{2} f (t)$ 可导，因而 $f$ 在 $t > 1$ 上可导。

对两种体积表达式求导，得 $π f (t)^{2} = \frac{π}{3} [2 t f (t) + t^{2} f^{'} (t)]$ 。

令 $x = t$ 、 $y = f (x)$ ，整理得微分方程 $x^{2} y^{'} + 2 x y = 3 y^{2}$ 。

初值非零。令 $u = \frac{1}{y}$ ，则第一问的方程化为 $u^{'} - \frac{2}{x} u = - \frac{3}{x ^{2}}$ 。乘以积分因子 $x^{- 2}$ ，得到 $(u x^{- 2})^{'} = - 3 x^{- 4}$ 。

积分得 $u = \frac{1}{x} + C x^{2}$ ，故 $y = \frac{x}{1 + C x ^{3}}$ 。

代入 $y (2) = \frac{2}{9}$ ，有 $\frac{2}{1 + 8 C} = \frac{2}{9}$ ，从而 $C = 1$ 。因此在 $[1, + \infty)$ 上 $y = \frac{x}{1 + x ^{3}}$ 。