（1）先核对点：$0-1+e^0=0$，所以 $(0,-1)$ 在曲线上。记 $F=x+y+e^{2xy}$，则 $F_y=1+2x{e}^{2xy}$，在该点为 $1\ne 0$；$F$ 光滑，故局部存在可导的 $y(x)$。
（2）对原方程求导。指数内的 $2xy$ 用乘积法则，得

代入 $(0,-1)$，有 $1+y^{\prime }+2(-1)=0$，于是 $y^{\prime }=1$。
（3）切点为 $(0,-1)$，点斜式为 $y+1=x$，故切线方程为 $y=x-1$。也可由 $F_x(0,-1)=-1$、$F_y(0,-1)=1$ 写切线 $-x+(y+1)=0$，结果相同。