2012 · 数学二 · 第 17 题 · 解答题

过

(0, 1)

作曲线

L : y = ln x

的切线，切点为

A

；

L

与

x

轴交于

B

，区域

D

由

L

与直线

A B

围成。

(1) 求 $D$ 的面积；
(2) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得体积。

答案

第 1 问

$S = 2$ 。

第 2 问

$V = \frac{2 π}{3} (e^{2} - 1)$ 。

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第 1 问

（1）设切点 $A = (t, ln t)$ ，其中 $t > 0$ 。因 $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ，切线方程为 $y - ln t = \frac{( x - t )}{t}$ 。代入切线所过点 $(0, 1)$ ，得 $1 - ln t = - 1$ ，故 $t = e^{2}$ ， $A = (e^{2}, 2)$ 。曲线与 $x$ 轴交于 $B = (1, 0)$ ，所以连接 $A, B$ 的弦为

y = \frac{2 ( x - 1 )}{e ^{2} - 1} .

区域的直线边界是这条弦；过 $(0, 1)$ 的切线只用于确定 $A$ 。
（2）由 $(ln x)^{''} = - \frac{1}{x ^{2}} < 0$ ，在 $[1, e^{2}]$ 上曲线位于弦上方，故

S = \int_{1}^{e^{2}} [ln x - \frac{2 ( x - 1 )}{e ^{2} - 1}] d x .

分部积分得 $\int ln x d x = x ln x - x + C$ ，于是

\int_{1}^{e^{2}} ln x d x \int_{1}^{e^{2}} \frac{2 ( x - 1 )}{e ^{2} - 1} d x = [x ln x - x]_{1}^{e^{2}} = e^{2} + 1, = [\frac{( x - 1 ) ^{2}}{e ^{2} - 1}]_{1}^{e^{2}} = e^{2} - 1.

相减得 $S = (e^{2} + 1) - (e^{2} - 1) = 2$ 。

第 2 问

由前问，区域位于 $1 \leq x \leq e^{2}$ ，上边界为 $ln x$ ，下边界为 $\frac{2 ( x - 1 )}{( e ^{2} - 1 )}$ ，且两边界均非负。绕 $x$ 轴的截面为圆环，体积须用半径的平方之差：

V = π \int_{1}^{e^{2}} [(ln x)^{2} - \frac{4 ( x - 1 ) ^{2}}{( e ^{2} - 1 ) ^{2}}] d x .

对第一项分部积分两次：

\int (ln x)^{2} d x = x (ln x)^{2} - 2 \int ln x d x = x (ln x)^{2} - 2 x ln x + 2 x + C .

故其定积分为 $[x (ln x)^{2} - 2 x ln x + 2 x]_{1}^{e^{2}} = 2 e^{2} - 2$ 。第二项为

\frac{4}{( e ^{2} - 1 ) ^{2}} \int_{1}^{e^{2}} (x - 1)^{2} d x = \frac{4}{( e ^{2} - 1 ) ^{2}} \cdot \frac{( e ^{2} - 1 ) ^{3}}{3} = \frac{4}{3} (e^{2} - 1) .

因此 $V = π [2 (e^{2} - 1) - \frac{4}{3} (e^{2} - 1)] = \frac{2 π}{3} (e^{2} - 1)$ 。