把 $[0,1]$ 分为 $n$ 个等长小区间，第 $k$ 段为 $[\frac{(k-1)}{n},\frac{k}{n}]$，宽度为 $\frac{1}{n}$，中点为 ${\xi }_k=\frac{(2k-1)}{(2n)}$。因为 $f$ 连续，黎曼和收敛于定积分，所以

这正是 B。
其余各项的取点合法，但权重与对应分割宽度不符。A 同样使用 $n$ 段的中点，却乘 $\frac{1}{(2n)}$，所得极限为积分的一半；C 使用 $2n$ 段的左端点，应乘 $\frac{1}{(2n)}$，却乘 $\frac{1}{n}$，极限为积分的两倍；D 使用 $2n$ 段的右端点，却乘 $\frac{2}{n}$，是正确宽度的四倍，极限为积分的四倍。
也可取连续函数 $f\equiv 1$ 作反例：积分等于 $1$，A、C、D 的和分别恒等于 $\frac{1}{2},2,4$，均不能作为对任意连续函数成立的公式。因此选 B。