1998 · 数学一 · 第 21 题 · 解答题

设两个随机变量

X, Y

相互独立，且都服从均值为

0

、方差为

\frac{1}{2}

的正态分布，求随机变量

∣ X - Y ∣

的方差。

答案

$1 - \frac{2}{π}$

由独立性， $Z = X - Y \sim N (0, \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = N (0, 1)$ 。因此 $E ∣ Z ∣ = \frac{2}{π}$ ，且 $E ∣ Z ∣^{2} = E Z^{2} = 1$ 。

所以

Var (∣ X - Y ∣) = 1 - (\frac{2}{π})^{2} = 1 - \frac{2}{π} .