1995 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

设函数

Q (x, y)

在

x O y

平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分

\int_{L} 2 x y d x + Q (x, y) d y

与路径无关，并且对任意

t

恒有

\int_{(0, 0)}^{(t, 1)} 2 x y d x + Q (x, y) d y = \int_{(0, 0)}^{(1, t)} 2 x y d x + Q (x, y) d y

，求

Q (x, y)

。

答案

$Q (x, y) = x^{2} + 2 y - 1$

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路径无关意味着存在势函数 $F$ ，满足 $F_{x} = 2 x y$ 、 $F_{y} = Q$ 。对 $x$ 积分得

F (x, y) = x^{2} y + h (y), Q (x, y) = x^{2} + h^{'} (y) .

题给两条积分相等，即对任意 $t$ 有

F (t, 1) = F (1, t),

因而 $t^{2} + h (1) = t + h (t)$ 。对 $t$ 求导得到 $h^{'} (t) = 2 t - 1$ 。

所以 $Q (x, y) = x^{2} + 2 y - 1$ 。