1999 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

设有微分方程

y^{'} - 2 y = φ (x)

，其中

φ (x) = {2, 0, x < 1, x > 1.

试求在

(- \infty, + \infty)

内的连续函数

y = y (x)

，使之在

(- \infty, 1)

和

(1, + \infty)

内都满足所给方程，且满足条件

y (0) = 0

。

答案

$y (x) = {e^{2 x} - 1, e^{2 x} - e^{2 x - 2}, x \leq 1, x > 1.$

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在 $x < 1$ 上，方程 $y^{'} - 2 y = 2$ 的通解为 $y = C_{1} e^{2 x} - 1$ 。由 $y (0) = 0$ 得 $C_{1} = 1$ ，故 $y = e^{2 x} - 1$ 。

连续性要求 $y (1) = e^{2} - 1$ 。在 $x > 1$ 上，方程 $y^{'} - 2 y = 0$ 的通解为 $y = C_{2} e^{2 x}$ ，由右极限等于 $e^{2} - 1$ 得 $C_{2} = 1 - e^{- 2}$ 。

令 $y (1) = e^{2} - 1$ ，便得到在整个实轴连续、并在两个开区间分别满足方程的唯一函数。