先分解

$$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}.$$

因此

$${\int }_1^R\frac{\mathrm{d}x}{x(x^2+1)}={\left[\ln x-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)\right]}_1^R.$$

当 $R\to +\infty$ 时，上限代入项趋于 $0$，故积分为 $\frac{1}{2}\ln 2$。