1997 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

在经济学中，称函数

Q (x) = A [δ K^{- x} + (1 - δ) L^{- x}]^{- \frac{1}{x}}

为固定替代弹性生产函数，而称函数

Q = A K^{δ} L^{1 - δ}

为 Cobb–Douglas 生产函数（简称 C–D 生产函数）。试证明：当

x \to 0

时，固定替代弹性生产函数变为 C–D 生产函数，即有

x \to 0 lim Q (x) = Q

。

答案

证明见解析

在生产函数的通常定义域 $A > 0, K > 0, L > 0$ 下，令 $h (x) = δ K^{- x} + (1 - δ) L^{- x}$ 。有 $h (0) = 1$ ，且

ln \frac{Q ( x )}{A} = - \frac{ln h ( x )}{x} .

因为分子、分母在 $x \to 0$ 时都趋于零，应用洛必达法则：

x \to 0 lim - \frac{ln h ( x )}{x} = - h^{'} (0) = δ ln K + (1 - δ) ln L .

指数函数连续，所以

x \to 0 lim Q (x) = A exp [δ ln K + (1 - δ) ln L] = A K^{δ} L^{1 - δ} = Q .

这就证明了所述极限。