2010 · 数学三 · 第 23 题 · 解答题

箱中装有

6

个球，其中红、白、黑球的个数分别为

1, 2, 3

个，现从箱中随机取出

2

个球，记

X

为取出的红球个数，

Y

为取出的白球个数。

答案

X \ Y 01 0 \frac{1}{5} \frac{1}{5} 1 \frac{2}{5} \frac{2}{15} 2 \frac{1}{15} 0

$- \frac{4}{45}$

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从 $6$ 个球中无放回任取 $2$ 个，有 $(2 6) = 15$ 种等可能的无序取法。 $X \in {0, 1}$ 、 $Y \in {0, 1, 2}$ ，且 $X + Y \leq 2$ 。对允许的取值，按红、白、黑三类分别选球，得

P {X = i, Y = j} = \frac{( i 1 ) ( j 2 ) ( 2 - i - j 3 )}{15} .

依次代入 $(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1)$ ，分子分别为 $3, 6, 1, 3, 2$ ； $(1, 2)$ 需要取三个球，概率为零。因此联合分布为

X \ Y 01 0 \frac{1}{5} \frac{1}{5} 1 \frac{2}{5} \frac{2}{15} 2 \frac{1}{15} 0

六格概率和为 $1$ ，行和为 $\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$ ，列和为 $\frac{2}{5}, \frac{8}{15}, \frac{1}{15}$ 。

由第一问边缘分布，

E (X) E (Y) = 0 \cdot \frac{2}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}, = 0 \cdot \frac{2}{5} + 1 \cdot \frac{8}{15} + 2 \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{3} .

乘积 $X Y$ 只有在 $(X, Y) = (1, 1)$ 时非零且等于 $1$ ，所以 $E (X Y) = \frac{2}{15}$ 。于是

Cov (X, Y) = \frac{2}{15} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{4}{45} .

不能把 $E (X Y)$ 替换成 $E (X) E (Y)$ ，两类球的取出数并不独立。