令 $u=x^2$、$v=y^2$，则 $u\ge 0$、$v\ge 0$、$u+\frac{v}{4}\le 1$，且 $f=2+u-v$。

由 $u\le 1-\frac{v}{4}$，有

等号成立当且仅当 $v=0$、$u=1$，即 $(x,y)=(\pm 1,0)$。

又由 $v\le 4(1-u)$，有

等号成立当且仅当 $u=0$、$v=4$，即 $(x,y)=(0,\pm 2)$。

所以最大值为 $3$，最小值为 $-2$。