若 $x_n\to a$，则对任意 $\epsilon \in (0,1)$，按极限定义取误差界 $2\epsilon$，可得题设不等式，故该条件必要。

反之，对任意给定的 $\eta >0$，可取 $\epsilon =\min \{\frac{1}{2},\frac{\eta }{4}\}$。题设条件给出充分大的 $n$ 满足 $|x_n-a|\le 2\epsilon <\eta$，故 $x_n\to a$。

所以该条件既充分又必要，选择 C。