2000 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

曲线方程化为 $x^{2} + y^{2} + 2 a y = 0$ ，在极坐标下为 $r = - 2 a sin θ$ 。它与 $y = - x$ 围成的区域可表示为 $- \frac{π}{4} \leq θ \leq 0, 0 \leq r \leq - 2 a sin θ$ 。

因此原积分为

\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \int_{0}^{- 2 a s i n θ} \frac{r ^{2}}{4 a ^{2} - r ^{2}} d r d θ .

令 $r = 2 a sin u$ ，内层积分等于 $a^{2} (- 2 θ + sin 2 θ)$ 。

再对 $θ$ 积分，得到

a^{2} \int_{- \frac{π}{4}}^{0} (- 2 θ + sin 2 θ) d θ = \frac{a ^{2} ( π ^{2} - 8 )}{16} .

答案