2002 · 数学二 · 第 10 题 · 选择题

设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，向量

β_{1}

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，而向量

β_{2}

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，则对于任意常数

k

，必有（　　）。

答案

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记 $V = span {α_{1}, α_{2}, α_{3}}$ 。已知 $β_{1} \in V$ ，而 $β_{2} \in / V$ 。

对任意常数 $k$ ，若 $k β_{1} + β_{2} \in V$ ，则 $β_{2} = (k β_{1} + β_{2}) - k β_{1} \in V$ ，矛盾。因此 $k β_{1} + β_{2} \in / V$ 。

由于前三个向量线性无关且第四个向量不在其张成空间中， $α_{1}, α_{2}, α_{3}, k β_{1} + β_{2}$ 必线性无关，选 A。