2001 · 数学三 · 第 5 题 · 填空题

设总体

X

服从正态分布

N (0, 0. 2^{2})

，而

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{15}

是来自总体

X

的简单随机样本，则随机变量

Y = \frac{X _{1}^{2} + \dots + X _{10}^{2}}{2 ( X _{11}^{2} + \dots + X _{15}^{2} )}

服从何种分布，并给出其参数。
分布名称为。
参数为。

答案

第 1 空：F 分布

第 2 空： $(10, 5)$

解析

第 1 空：

记 $σ^{2} = 0. 2^{2}$ 。则 $U = \frac{X _{1}^{2} + \dots + X _{10}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (10)$ ， $V = \frac{X _{11}^{2} + \dots + X _{15}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (5)$ ，且 $U, V$ 独立。

原变量 $Y = \frac{U}{2 V} = \frac{\frac{U}{10}}{\frac{V}{5}}$ ，故服从 $F$ 分布。

第 2 空：

沿用第一个空的独立卡方变量，在 $Y = \frac{( \frac{U}{10} )}{( \frac{V}{5} )}$ 中，分子卡方变量的自由度为 $10$ ，分母卡方变量的自由度为 $5$ ，所以参数为 $(10, 5)$ 。