1989 · 数学二 · 第 16 题 · 解答题

令

P = x^{2} y z^{2}, Q = - x y^{2} z^{2}, R = z (1 + x y z) = z + x y z^{2} .

题设曲面积分正是向量场 $(P, Q, R)$ 通过闭曲面 $S$ 外侧的通量。由高斯公式，它等于

∭_{Ω} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) d V .

计算散度得

\frac{\partial P}{\partial x} = 2 x y z^{2}, \frac{\partial Q}{\partial y} = - 2 x y z^{2}, \frac{\partial R}{\partial z} = 1 + 2 x y z,

因而

\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 1 + 2 x y z .

区域可写成

Ω = {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} \leq a^{2}, 0 \leq z \leq a^{2} - x^{2} - y^{2}} .

它关于平面 $x = 0$ （也关于 $y = 0$ ）对称，而 $x y z$ 关于 $x$ 为奇函数，所以 $∭_{Ω} x y z d V = 0$ 。因此原曲面积分为

∭_{Ω} (1 + 2 x y z) d V = ∭_{Ω} 1 d V = V,

命题得证。

答案