2020 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

记常数 $A = \iint_{D} f (x, y) d x d y$ ，则题设成为 $f (x, y) = y 1 - x^{2} + A x$ 。两边在 $D$ 上积分，因上半单位圆盘关于 $y$ 轴对称， $\iint_{D} x d x d y = 0$ ，得到

A = \iint_{D} y 1 - x^{2} d x d y = \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x \int_{0}^{1 - x^{2}} y d y = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2})^{\frac{3}{2}} d x .

令 $x = sin t$ ， $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，则 $cos t \geq 0$ ，换元后

A = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos^{4} t d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{4} t d t = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{3 π}{16} .

再将函数方程乘以 $x$ 并积分，得

\iint_{D} x f (x, y) d x d y = \iint_{D} x y 1 - x^{2} d x d y + A \iint_{D} x^{2} d x d y .

第一项关于 $x$ 为奇函数，积分为零。第二项用极坐标 $0 \leq θ \leq π$ 、 $0 \leq r \leq 1$ ，有

\iint_{D} x^{2} d x d y = \int_{0}^{π} cos^{2} θ d θ \int_{0}^{1} r^{3} d r = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{π}{8} .

故所求为 $\frac{3 π}{16} \cdot \frac{π}{8} = \frac{3 π ^{2}}{128}$ 。

答案