先说明所用的积分定阶公式。本题各被积函数在$0$附近连续，若$h(t)\sim C{t}^p$，$p>-1$，则由洛必达法则

因此应先按积分上限$u$确定阶数，再代入$u$关于$x$的表达式。
（1）A中$e^{t^2}-1\sim t^2$，故${\int }_0^x(e^{t^2}-1)\mathrm{d}t\sim \frac{x^3}{3}$，为$3$阶。
（2）B中$\ln (1+\sqrt{t^3})\sim t^{\frac{3}{2}}$，故${\int }_0^x\ln (1+\sqrt{t^3})\mathrm{d}t\sim (\frac{2}{5})x^{\frac{5}{2}}$，为$\frac{5}{2}$阶。
（3）C中$\sin (t^2)\sim t^2$，先有${\int }_0^u\sin (t^2)\mathrm{d}t\sim \frac{u^3}{3}$，再代入$u=\sin x\sim x$，得C等价于$\frac{x^3}{3}$，为$3$阶。
（4）D中$\sqrt{{\sin }^{3}t}=(\sin t{)}^{\frac{3}{2}}\sim t^{\frac{3}{2}}$，而积分上限$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$。所以

D为$5$阶。四项的阶数依次为$3,\frac{5}{2},3,5$，故D趋于零最快，是最高阶无穷小，选D。