（1）化为线性方程。在包含初值点 $x=1$ 的正半轴上，将原方程除以 $x$，得 $y^{\prime }-\frac{y}{x}=-x{\mathrm{e}}^x$。取积分因子 $\mu (x)={\mathrm{e}}^{-\ln x}=\frac{1}{x}$，两边同乘它，左端成为商的导数：

也可直接将原式除以 $x^2$ 得到此式。

（2）积分并代入初值。积分得 $\frac{y}{x}=-{\mathrm{e}}^x+C$，即 $y=x(C-{\mathrm{e}}^x)$。由 $y(1)=-\mathrm{e}$ 得 $C=0$，所以 $y=-x{\mathrm{e}}^x$。

（3）回代核对。由 $y^{\prime }=-{\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^x$，得

且 $y(1)=-\mathrm{e}$。该表达式也在整个实轴上可导并满足原方程。