2012 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

设二维离散型随机变量

(X, Y)

的概率分布为

$X \ Y$	$0$	$1$	$2$
$0$	$\frac{1}{4}$	$0$	$\frac{1}{4}$
$1$	$0$	$\frac{1}{3}$	$0$
$2$	$\frac{1}{12}$	$0$	$\frac{1}{12}$

(1) 求 $P (X = 2 Y)$ ；
(2) 求 $Cov (X - Y, Y)$ 。

答案

第 1 问

$\frac{1}{4}$

第 2 问

$- \frac{2}{3}$

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第 1 问

在表中满足 $x = 2 y$ 的格点只有 $(0, 0)$ 与 $(2, 1)$ ，故

P {X = 2 Y} = P {X = 0, Y = 0} + P {X = 2, Y = 1} = \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4} .

不能只看 $(2, 1)$ ，因为 $(0, 0)$ 也满足等式。

第 2 问

先用协方差的线性性，

Cov (X - Y, Y) = Cov (X, Y) - Var (Y) .

按行求和， $X$ 在 $0, 1, 2$ 处的概率为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$ ；按列求和， $Y$ 在 $0, 1, 2$ 处的概率均为 $\frac{1}{3}$ 。所以

E (X) = \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3}, E (Y) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.

$E (X Y)$ 中只有 $(1, 1)$ 与 $(2, 2)$ 有非零贡献，得

E (X Y) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{3} .

故 $Cov (X, Y) = \frac{2}{3} - (\frac{2}{3}) \cdot 1 = 0$ 。又 $E (Y^{2}) = \frac{( 0 + 1 + 4 )}{3} = \frac{5}{3}$ ，故 $Var (Y) = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ 。最终

Cov (X - Y, Y) = 0 - \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} .

这里 $X, Y$ 不相关但不独立， $E (X Y)$ 必须由联合分布计算，不能预先假定它等于 $E (X) E (Y)$ 。