记 $P=2y-3x$、$Q=2x-5y$。它们在全平面有连续偏导，且 $P_y=Q_x=2$，所以原方程是全微分方程。
（1）设 $u_x=P$，关于 $x$ 积分得 $u=2xy-\frac{3x^2}{2}+\phi (y)$。再由 $u_y=2x+{\phi }^{\prime }(y)=Q$，得到 ${\phi }^{\prime }(y)=-5y$，故可取 $\phi (y)=-\frac{5y^2}{2}$。
（2）原方程成为 $\mathrm{d}u=0$，积分得 $2xy-\frac{3x^2}{2}-\frac{5y^2}{2}=C$。代入 $x=y=1$，有 $C=2-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=-2$，整理得

对此式求微分并除以 $-2$，恢复原方程；代入 $(1,1)$ 也满足初值。
（3）若写成显式函数，解关于 $y$ 的二次方程，得 $y=\frac{(2x\pm \sqrt{20-11x^2})}{5}$。由 $y(1)=1$ 选正号，因此

以上开区间是该可导解支的最大区间；端点虽有连续延拓值，但导数发散，不能作为微分方程的常规可导解点。隐式曲线为椭圆，因为其二次型矩阵的首主子式为 $3>0$、行列式为 $11>0$。