由 $\beta$ 是方程组的解，知对每个 $i=1,2,\dots ,r$ 都有 ${\alpha }_i^T\beta =0$，即 $\beta$ 与各 ${\alpha }_i$ 正交。

设 $c_1{\alpha }_1+\cdots +c_r{\alpha }_r+d\beta =0$。两边左乘 ${\beta }^T$，利用上述正交关系得

因 $\beta \ne 0$，故 ${\beta }^T\beta >0$，从而 $d=0$。

于是 $c_1{\alpha }_1+\cdots +c_r{\alpha }_r=0$。已知 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 线性无关，所以 $c_1=\cdots =c_r=0$。因此向量组 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r,\beta$ 线性无关。