1992 · 数学一 · 第 13 题 · 解答题

设

f (x) = {1 + x^{2}, e^{- x}, x \leq 0 x > 0

，求

\int_{1}^{3} f (x - 2) d x

。

答案

$\frac{7}{3} - e^{- 1}$

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令 $t = x - 2$ ，则积分上下限由 $1, 3$ 变为 $- 1, 1$ ，且分段点为 $t = 0$ 。

于是

\int_{1}^{3} f (x - 2) d x = \int_{- 1}^{0} (1 + t^{2}) d t + \int_{0}^{1} e^{- t} d t = \frac{4}{3} + 1 - e^{- 1} = \frac{7}{3} - e^{- 1} .