两方差均为 $1$，所以协方差等于 $\rho$。利用 $a^2+b^2=1$，

由 $(a-b{)}^2\ge 0$ 与 $(a+b{)}^2\ge 0$，得 $-1\le 2ab\le 1$，故 $1+2ab\rho \le 1+|\rho |$。
还需说明上界可达：若 $\rho >0$，取 $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$，此时 $2ab=1$；若 $\rho <0$，取 $a=\frac{1}{\sqrt{2}},b=-\frac{1}{\sqrt{2}}$，此时 $2ab=-1$；若 $\rho =0$，所有满足约束的 $a,b$ 都使方差为 $1$。因此最大值为 $1+|\rho |$，选 C。

设 $u=(a,b{)}^{\mathsf{T}}$，则 $u^{\mathsf{T}}u=1$，而

这个实对称矩阵的特征值为 $1+\rho ,1-\rho$。在单位向量上，其二次型最大值为最大特征值 $\max \{1+\rho ,1-\rho \}=1+|\rho |$，在相应单位特征向量处取到。