可取$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 2\\ 1& 1& 3\end{array}\right)$

特征值为$\lambda =1\text{（二重）},4$

$P=({\alpha }_1-{\alpha }_2,-2{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_2+{\alpha }_3)$，此时$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,4)$

令 $S=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$。由于三向量线性无关，$S$ 可逆。

等式 $AS=SB$ 中，$B$ 的各列分别是 $A{\alpha }_1$、$A{\alpha }_2$、$A{\alpha }_3$ 在基底 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 下的坐标，因此

由 $AS=SB$ 且 $S$ 可逆，得 $S^{-1}AS=B$，所以 $A$ 与 $B$ 相似。

用上一问的矩阵计算

故 $A$ 的特征值为 $1$（代数重数 2）和 $4$。

沿用第一问的矩阵 $B,S$，并使用第二问求得的特征值。对特征值 $1$，方程 $(B-I_3)v=0$ 等价于 $x+y+2z=0$，可取 $v_1=(1,-1,0{)}^{\mathsf{T}}$、$v_2=(0,-2,1{)}^{\mathsf{T}}$。

对特征值 $4$，方程 $(B-4I_3)v=0$ 给出 $v_3=(0,1,1{)}^{\mathsf{T}}$。令 $V=(v_1,v_2,v_3)$，则 $\det V=-3\ne 0$。

把坐标特征向量乘回 $S$，可取

此时 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,4)$。