1996 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

设函数

y = y (x)

由方程

2 y^{3} - 2 y^{2} + 2 x y - x^{2} = 1

确定。

(1) 求 $y = y (x)$ 的驻点；
(2) 判别该驻点是否为极值点。

答案

第 1 问

$(1, 1)$

第 2 问

该驻点是极小值点。

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第 1 问

对 $2 y^{3} - 2 y^{2} + 2 x y - x^{2} = 1$ 求导，得 $(6 y^{2} - 4 y + 2 x) y^{'} + 2 y - 2 x = 0$ ，即 $y^{'} = \frac{x - y}{3 y ^{2} - 2 y + x}$ 。

驻点满足 $y^{'} = 0$ ，故 $x = y$ 。代回原方程得 $2 y^{3} - y^{2} - 1 = 0 = (y - 1) (2 y^{2} + y + 1)$ 。后二次因式无实根，所以 $x = y = 1$ 。此时分母为 $2 \neq = 0$ ，故驻点为 $(1, 1)$ 。

第 2 问

由第一问，驻点为 $(1, 1)$ 。令 $F (x, y) = 2 y^{3} - 2 y^{2} + 2 x y - x^{2} - 1$ 。在驻点 $y^{'} = 0$ 处，由二次隐式求导公式有 $y^{''} = - \frac{F _{xx}}{F _{y}}$ 。

在 $(1, 1)$ 处， $F_{xx} = - 2$ ， $F_{y} = 6 y^{2} - 4 y + 2 x = 4$ ，故 $y^{''} = \frac{1}{2} > 0$ 。因此该驻点是极小值点。