$(1,1)$

该驻点是极小值点。

对 $2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$ 求导，得 $(6y^2-4y+2x)y^{\prime }+2y-2x=0$，即 $y^{\prime }=\frac{x-y}{3y^2-2y+x}$。

驻点满足 $y^{\prime }=0$，故 $x=y$。代回原方程得 $2y^3-y^2-1=0=(y-1)(2y^2+y+1)$。后二次因式无实根，所以 $x=y=1$。此时分母为 $2\ne 0$，故驻点为 $(1,1)$。

由第一问，驻点为 $(1,1)$。令 $F(x,y)=2y^3-2y^2+2xy-x^2-1$。在驻点 $y^{\prime }=0$ 处，由二次隐式求导公式有 $y^{\prime \prime }=-\frac{F_{xx}}{F_y}$。

在 $(1,1)$ 处，$F_{xx}=-2$，$F_y=6y^2-4y+2x=4$，故 $y^{\prime \prime }=\frac{1}{2}>0$。因此该驻点是极小值点。