代入 $(x,y)=(0,0)$，原方程给出 $z+1=0$，故 $z(0,0)=-1$。令 $F=z+{\mathrm{e}}^x-y\ln (1+z^2)$，在 $(0,0,-1)$ 处有 $F_z=1\ne 0$，且 $F$ 光滑。因此由隐函数定理，$z$ 在该点附近光滑，以下求导及代值均合法。
（1）计算 $z_{xx}$。固定 $y$，对原方程求导得

代点得 $z_x(0,0)=-1$。再对该等式关于 $x$ 求导：

括号内函数的偏导连续，在该点有限，故代入 $y=0$ 后最后一项为零，得到 $z_{xx}(0,0)=-1$。
（2）计算 $z_{yy}$。对原方程关于 $y$ 求导得

代点得 $z_y(0,0)=\ln 2$。再对 $y$ 求导，乘积法则产生两个相同项：

在 $(0,0)$ 处，$\frac{2z}{1+z^2}=-1$，最后一项为零，故 $z_{yy}(0,0)+2\ln 2=0$，即 $z_{yy}(0,0)=-2\ln 2$。
综上，$(z_{xx}+z_{yy}){|}_{(0,0)}=-1-2\ln 2$。含因子 $y$ 的项在对 $x$ 求导时仍保留该因子，但对 $y$ 求导时会产生不含 $y$ 的项，不能提前删去。