2000 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

被积函数非零的区域满足 $1 \leq x \leq 2$ 、 $0 \leq y \leq x$ 。而 $D$ 的条件等价于 $y^{2} \geq 2 x - x^{2}$ 。在上述区域内，故对每个 $x \in [1, 2]$ ，有 $2 x - x^{2} \leq y \leq x$ 。

因此

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{1}^{2} \int_{2 x - x^{2}}^{x} x^{2} y d y d x .

计算得

\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{2} [x^{2} - (2 x - x^{2})] d x = \int_{1}^{2} (x^{4} - x^{3}) d x = [\frac{x ^{5}}{5} - \frac{x ^{4}}{4}]_{1}^{2} = \frac{49}{20} .

答案