特征方程为 $r^2+2r+k=0$。由 $0<k<1$，有 $0<\sqrt{1-k}<1$，所以两个相异实根

满足 $r_2<-1<r_1<0$。因此 $y=C_1{\mathrm{e}}^{r_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{r_{2}x}$。对任意 $A>0$，

由于两根均为负数，$A\to +\infty$ 时两个指数均趋于零，上式极限为 $-\frac{C_1}{r_1}-\frac{C_2}{r_2}$，是有限数，故反常积分收敛。

特征根 $r_1=-1+\sqrt{1-k}$、$r_2=-1-\sqrt{1-k}$ 满足 $r_2<r_1<0$，通解为 $y=C_1{\mathrm{e}}^{r_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{r_{2}x}$。当 $x\ge 0$ 时，

而 ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{r_{1}x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{r_1}<+\infty$，由比较判别法，原反常积分绝对收敛，从而收敛。

（1）由第一问，$r_1,r_2<0$，故 $y(x)\to 0$；又 $y^{\prime }=C_1{r}_1{\mathrm{e}}^{r_{1}x}+C_2{r}_2{\mathrm{e}}^{r_{2}x}$，所以 $y^{\prime }(x)\to 0$。
（2）先在有限区间 $[0,A]$ 对方程逐项积分，利用牛顿–莱布尼茨公式得到

令 $A\to +\infty$，代入 $y(0)=y^{\prime }(0)=1$，得 $-1-2+k{\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x=0$。因 $k>0$，所求积分为 $\frac{3}{k}$。
（3）用第一问的积分表达式核对。初值给出 $C_1+C_2=1$、$C_1{r}_1+C_2{r}_2=1$，韦达定理给出 $r_1+r_2=-2$、$r_1{r}_2=k$，因此