（1）先求函数值。可导保证 $f$ 在 $1$ 连续，故分子的极限为 $f(1)-3f(1)=-2f(1)$。另一方面，分子等于题设分式乘以 $x^2$，极限为 $2\cdot 0=0$，所以 $f(1)=0$。
（2）由一点可导的等价表达，$f(1+t)=f^{\prime }(1)t+o(t)$。令 $t_1=e^{x^2}-1$、$t_2={\sin }^{2}x$，二者均为 $x^2+o(x^2)$，故

余项可改写为 $o(x^2)$，是因为 $\frac{t_i}{x^2}\to 1$。代回原分式，得到 $-2f^{\prime }(1)+o(1)\to 2$，所以 $f^{\prime }(1)=-1$。只需要一点可导，不要求二阶导数。

仍先由连续性及分子趋于零得到 $f(1)=0$。将原式凑成差商：

在充分小的去心邻域，两个新增分母都非零。由导数定义，两差商都趋于 $f^{\prime }(1)$；另两个因子都趋于 $1$，故题设极限为 $f^{\prime }(1)-3f^{\prime }(1)=-2f^{\prime }(1)=2$，得到 $f^{\prime }(1)=-1$。