在任一点，$\nabla f=(1+y,1+x)$。对任意单位方向 $e$，方向导数为 $\nabla f\cdot e\le |\nabla f|$，等号可沿梯度方向取得；梯度为零时所有方向导数都为零。因此只需在曲线 $C$ 上最大化 $U=|\nabla f{|}^2=(1+x{)}^2+(1+y{)}^2$。
约束可写成 $(x+\frac{y}{2}{)}^2+\frac{3y^2}{4}=3$，是紧椭圆；约束梯度 $(2x+y,x+2y)$ 仅在原点为零，而原点不在 $C$ 上，故可用乘数法。令 $L=U+\lambda (x^2+y^2+xy-3)$，得到

两式相减得 $(x-y)(2+\lambda )=0$，相加得 $2(2+x+y)+3\lambda (x+y)=0$。
若 $x=y$，由约束得 $(1,1)$、$(-1,-1)$，对应 $U=8,0$。若 $\lambda =-2$，相加式给出 $x+y=1$，再由约束得 $xy=-2$，所以点为 $(2,-1)$、$(-1,2)$，均有 $U=9$。
最大值必在这些候选点中，故 $U_{\max }=9$，所求最大方向导数为 $3$。在 $(2,-1)$ 处沿 $(0,1)$、在 $(-1,2)$ 处沿 $(1,0)$ 取得。这里限制的是取点在 $C$ 上，方向不必沿曲线切线。

先由 $\nabla f=(1+y,1+x)$，将问题化为在 $C$ 上求 $U=(1+x{)}^2+(1+y{)}^2$ 的最大值。记 $s=x+y$、$p=xy$，约束给出 $p=s^2-3$，因此

为保证 $x,y$ 为实数，方程 $t^2-st+p=0$ 的判别式须非负，即 $s^2-4(s^2-3)=12-3s^2\ge 0$，所以 $-2\le s\le 2$。$s=1$ 在允许范围内，此时 $p=-2$，对应 $(x,y)=(2,-1)$ 或 $(-1,2)$，确实满足约束。
故 $U_{\max }=9$，最大方向导数为 $\sqrt{9}=3$，分别沿对应点的单位梯度方向 $(0,1)$、$(1,0)$ 取得。