令 $F(x)=x\sin x+2\cos x+\pi x$。在 $0<x<\pi$ 内，

令 $G(x)=\sin x-x\cos x$，则 $G^{\prime }(x)=x\sin x>0$；且 $G(\pi )=\pi$。所以对 $0<x<\pi$，有 $G(x)<\pi$，从而 $F^{\prime }(x)>0$。

因此 $F$ 在 $(0,\pi )$ 上严格递增。由 $a<b$，得 $F(b)>F(a)$，即