（1）特征方程为 $r^3-2r^2+r-2=0$。分组提公因子，得

故三个相异根为 $2,\mathrm{i},-\mathrm{i}$。
（2）实根 $2$ 对应 ${\mathrm{e}}^{2x}$；共轭根 $\pm \mathrm{i}$ 的实部为零、虚部为 $\pm 1$，对应实值解 $\cos x,\sin x$。按常系数线性方程的特征根法，它们线性无关，构成三阶方程的基本解组。因此

（3）核对：对 $y={\mathrm{e}}^{2x}$，左端为 $(8-8+2-2){\mathrm{e}}^{2x}=0$。对 $y=\cos x$，前三阶导数依次为 $-\sin x,-\cos x,\sin x$，左端为 $\sin x+2\cos x-\sin x-2\cos x=0$。对 $y=\sin x$，左端为 $-\cos x+2\sin x+\cos x-2\sin x=0$。由线性性，其任意线性组合均为解。