2005 · 数学一 · 第 9 题 · 选择题

设函数

u (x, y) = ϕ (x + y) + ϕ (x - y) + \int_{x - y}^{x + y} ψ (t) d t

，其中函数

ϕ

具有二阶导数，

ψ

具有一阶导数，则必有（　　）。

A
$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = - \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}$
B
$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}$
正确答案
C
$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}$
D
$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$

答案

查看解析展开

令 $s = x + y$ 、 $t = x - y$ 。由莱布尼茨公式， $u_{x} = ϕ^{'} (s) + ϕ^{'} (t) + ψ (s) - ψ (t)$ ， $u_{y} = ϕ^{'} (s) - ϕ^{'} (t) + ψ (s) + ψ (t)$ 。

再次求导得 $u_{xx} = ϕ^{''} (s) + ϕ^{''} (t) + ψ^{'} (s) - ψ^{'} (t) = u_{y y}$ ，故选 B。