（1）记 $a=f_x(0,0)$、$b=f_y(0,0)$、$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$，并记向量 $n=(a,b,-1)$、$v=(x,y,f(x,y))$。由可微性及 $f(0,0)=0$，有 $f(x,y)=ax+by+o(\rho )$，所以

因此 A 中极限必存在且为零。几何上，这个点积消去了曲面相对切平面的线性主部。
（2）检查 B。一般有 $n\times v=(bf+y,-x-af,ay-bx)$。沿射线 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，记 $m=a\cos \theta +b\sin \theta$，可微性给出 $\frac{f}{\rho }=m+o(1)$，所以叉积除以 $\rho$ 的主部为 $(bm+\sin \theta ,-\cos \theta -am,a\sin \theta -b\cos \theta )$，其模未必与方向无关。
取 $f(x,y)=x$，则 $n=(1,0,-1)$、$v=(x,y,x)$，$n\times v=(y,-2x,y)$，从而

沿 $x=0$ 为 $\sqrt{2}$，沿 $y=0$ 为 $2$，极限不存在。该例可取非零向量 $\alpha =(0,1,0)$ 与 $n$ 垂直，满足完整题设。
（3）检查 C、D。取 $f\equiv 0$，则 $n=(0,0,-1)$。选择 $\alpha =(1,0,0)$，它非零且与 $n$ 垂直，此时 $v=(x,y,0)$。有 $\frac{|\alpha \cdot v|}{\rho }=\frac{|x|}{\rho }$，沿两坐标轴分别为 $1,0$，故 C 的极限不存在。又 $\alpha \times v=(0,0,y)$，所以 $\frac{|\alpha \times v|}{\rho }=\frac{|y|}{\rho }$，沿两轴分别为 $0,1$，D 的极限也不存在。
因此只有 A 对所有符合条件的函数和向量成立，选 A。