令 $M=\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& 0\end{array}\right)$。它是 $(n+1)$ 阶矩阵，而题设给出 $r(M)=r(A)\le n$。

所以 $M$ 必为奇异矩阵，齐次方程组 $M\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{X}{y}\right)=0$ 必有非零解，选择 D。